2023-2024年吉林省部分名校高二下学期联合考试物理试题
与切线有关的参数范围或最值问题 在高中会考哪些考点？
一、核心考点
导数的几何意义 曲线在某点处的切线斜率等于该点导数值。通过导数求解切线方程，进而分析参数范围或最值。切线与曲线的关系 切线与曲线有且仅有一个公共点（相切）。利用判别式或函数单调性确定参数范围。切线与最值问题 曲线上的点到直线的距离最小值可通过切线求解。切线斜率与已知直线斜率相等时，可求极值点。切线与参数范围 根据切线数量（如1条、2条、3条）确定参数范围。通过函数零点个数或交点个数分析参数取值。二、典型题型
已知切线条件求参数值例题 ：若直线 y=kx 与曲线 y=x3−3x2+2x 相切，求 k 的值。解法 ：设切点为 (x0,y0)，根据导数几何意义，切线斜率 k=f′(x0)=3x02−6x0+2。切点在切线上且在曲线上，联立方程 y0=kx0 和 y0=x03−3x02+2x0。解方程组得到 k 的值。根据切线数量求参数范围例题 ：过直线 y=x−1 上一点 P(t,t−1) 可作曲线 f(x)=x−lnx 的 2 条切线，求 t 的取值范围。解法 ：设切点为 (x0,y0)，切线斜率 f′(x0)=1−x01。切线方程为 y−y0=f′(x0)(x−x0)，将点 P 代入得到关于 x0 的方程。方程有 2 个不等实根，通过构造函数分析其单调性与极值，确定 t 的范围。切线与距离最值问题例题 ：求椭圆 4x2+y2=1 上的点到直线 x+2y−10=0 的距离的最小值。解法 ：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为 x+2y+m=0。联立椭圆方程与切线方程，消元得到一元二次方程，通过判别式 Δ=0 求出 m。两平行线间的距离即为所求最小值。切线与参数范围的综合问题例题 ：已知函数 f(x)=(c+1)ex，过点 M(1,t) 可作 3 条与曲线 y=f(x) 相切的直线，求实数 t 的取值范围。解法 ：设切点为 (x0,y0)，切线斜率 f′(x0)=(c+1)ex0。切线方程为 y−y0=f′(x0)(x−x0)，将点 M 代入得到关于 x0 的方程。方程有 3 个不等实根，通过分离参数或构造函数分析其零点个数，确定 t 的范围。三、解题关键技巧
设切点坐标 ：通过导数几何意义建立方程。联立方程 ：结合切点在曲线上和切线上，消元求解。判别式分析 ：通过 Δ=0 确定切线条件。构造函数 ：将问题转化为函数零点个数或交点个数问题。几何转化 ：如切线长问题可转化为圆心到直线的距离问题。
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